Question

设函数f（x）=x²+bx-3，对于给定的实数b，f（x）在区间[b-2，b+2]上有最大值M（b）和最小值m（b），记g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）的解析式；
（2）问b为何值时，g（b）有最小值？并求出g（b）的最小值．

Answer

（1）根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最大值、最小值，即可求得函数g（b）的解析式；
（2）根据（1）求得的结果，利用二次函数在定区间上的最值的求法，以及分段函数求最值的方法即可求得结果．
【解析】
（1），抛物线开口向上，其对称轴方程为，下面就对称轴与区间[b-2，b+2]端点的相对位置分段讨论：
①当时，且，
此时M（b）=f（b+2）=2b2+6b+1，．．
②当时，且，
此时M（b）=f（b-2）=2b2-6b+1，．．
③当时，，f（x）在区间[b-2，b+2]上递增，
此时M（b）=f（b+2）=2b2+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b2-6b+1．g（b）=12b．
④当时，，f（x）在区间[b-2，b+2]上递减，
此时M（b）=f（b-2）=2b2-6b+1，m（b）=f（b+2）=2b2+6b+1．g（b）=-12b．
综上所得
（2）当时，；
当时，递减，g（b）＞g（0）=4；
当时，递增，g（b）≥g（0）=4；
当时，．
综上所述，当b=0时，[g（b）]min=4．