Question

设S=x²+2xy+2y²+2x+1，其中x∈R，y∈R，则S的最小值为（ ）
A．1
B．-1
C．
D．0

Answer

解法一：由S=x2+2xy+2y2+2x+1利用判别式法，我们可将S=x2+2xy+2y2+2x+1的表达式看成关于x的一元二次方程，进而根据方程对应的△≥0，求出S的取值范围，进而得到S的最小值．
解法二：利用配方法，我们可将S=x2+2xy+2y2+2x+1化为（x+y+1）2+（y-1）2-1的形式，进而利用实数的性质得到S的最小值．
解法一：
x2+（2y+2）x+（2y2+1-S）=0，
由△=（2y+2）2-4（2y2+1-S）≥0
得S≥y2-2y=（y-1）2-1≥-1．
当且仅当y=1，x=-2时，Smin=-1．
故选B．
解法二：
S=x2+2xy+2y2+2x+1=x2+2（y+1）x+（y+1）2+y2-2y=（x+y+1）2+（y-1）2-1≥-1．
当且仅当y=1，x=-2时，Smin=-1．选B．