2010-2011学年甘肃省天水一中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

满足条件A∪{1，2}={1，2，3}的集合A有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．8个

2. 难度：中等

已知向量（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

3. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，值域为[-2，3]，则y=f（x）（x∈R）的值域为（ ）
A．[-2，2]
B．[-2，3]
C．[-3，2]
D．[-3，3]

4. 难度：中等

若，，且分别是直线l₁：ax+（b-a）y-a=0，l₂：ax+4by+b=0的方向向量，则a，b的值分别可以是（ ）
A．2，1
B．1，2
C．-1，2
D．-2，1

5. 难度：中等

已知函数y=f（x）在（a，b）上的导函数y=f'（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）在（a，b）上的极小值的个数是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知a、b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a²＜b²
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如果实数X，Y满足等式（x-2）²+y²=3，那么的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若将函数f（x）=sinx+cosx的图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，所得图象恰好为函数y=sinx-cosx的图象，则m的值可以为（ ）
A．
B．
C．π
D．

9. 难度：中等

平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

10. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）（n∈N*），则数列{a_n}的通项公式为（ ）
A．a_n=n
B．a_n=2n-1
C．
D．

11. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acosC+ccosA的值为（ ）
A．b
B．c
C．2cosB
D．2sinB

12. 难度：中等

已知双曲线方程=1（a＞b＞0），过右焦点F₂且倾斜角为60°的线段F₂M与y轴交于M，与双曲线交于N，已知=，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若点M是棱 BC上的中点，则D₁B与AM所成角的余弦值是    ．

14. 难度：中等

函数，则f（1）=    ．

15. 难度：中等

若x、y满足，则（x-1）²+（y-1）²的取值范围是    ．

16. 难度：中等

设P为抛物线y=x²上一点，当P点到直线x-y+2=0的距离最小时，P点的坐标为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinBcosC=2sinA-sinC）cosB．
（I）求B的大小；
（II）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

数列{b_n}是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）若a_n=log₂b_n+3，且a₁+a₂+a₃+…+a_m≤42，求m的最大值．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

20. 难度：中等

已知向量=（-cosx，sinx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•，x∈[0，π]
（I）求函数f（x）的最大值；
（II）当函数f（x）取得最大值时，求向量与夹角的大小．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）若a=2，b=1，若函数k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围；
（III）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设直线l：y=x+m，双曲线，双曲线的离心率为，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且
（1）证明：4a²=m²+3；
（2）求双曲线E的方程；
（3）若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且，求实数λ的取值范围．