Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）若a=2，b=1，若函数k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围；
（III）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）对函数求导，根据函数的单调性得到函数的导函数在定义域上不小于0，恒成立，根据基本不等式求出b的范围．
（II）把函数在规定的区间上有零点，相当于函数对应的方程在这个区间上有解，构造新函数，根据对函数求导得到函数最值，求出结果．
（III）设出点的坐标，写出直线的方程，根据直线平行，得到斜率之间的关系，构造新函数，对新函数求导，得到两个结论是矛盾的．
【解析】
（I）h（x）=lnx+x2-bx，且函数的定义域为（0，+∞）
∴依题知对（0，+∞）恒成立，
∴
∵x＞0，
∴
（II）函数k（x）=g（x）-2f（x）-x2在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程
x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根．
令m（x）=x-2lnx，
∴
∴m（x）在[1，2]上单减，在（2，3]上单增，
m（x）的最小值是2-2ln2
故2-2lnx＜k＜3-2ln3
（III）设点P（x1，y1）Q（x2，y2）
则PQ的中点R的横坐标
C1在点M处的切线的斜率为
C2在点N处的切线的斜率为+b
假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则斜率相等
即ln=
设
则lnu=①
令r（u）=lnu-  （u＞1）
则
∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞②
∵①与②矛盾，
∴假设不成立，故C1点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．