Question

设直线l：y=x+m，双曲线，双曲线的离心率为，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且
（1）证明：4a²=m²+3；
（2）求双曲线E的方程；
（3）若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由题意知双曲线的方程可化为2x2-y2=2a2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）由得：x2-2mx-m2-2a2=0．由此可知4a2=m2+3．
（2）由题意知（-x1，m-y1）=3（x2，y2-m），由得m2=a2，由得a2=1则b2=2．故双曲线的方程为；
（3）由题意知，设M（x1，y1），N（x2，y2）．由得：．设直线MN的方程为．由得：．由此可求出λ的取值范围是．
（1）∵双曲线的离心率为，
∴，从而b2=2a2．
双曲线的方程可化为2x2-y2=2a2．
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由
得：x2-2mx-m2-2a2=0
则有x1+x2=2m，x1•x2=-m2-2a2
从而y1+y2=4m，y1y2=2m2-2a2
∵
则-m2-2a2+2m2-2a2=-3，即4a2=m2+3；
（2）∵，
∴（-x1，m-y1）=3（x2，y2-m）
∴，
由得m2=a2
由得a2=1则b2=2
故双曲线的方程为；
（3）易知，设M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得：
设直线MN的方程为．
由得：
则，
消去y1，y2得：
∵，
∴，
解得或
当t=0时，可求出λ=1．
当直线MN与x轴重合时，
可求出或
故λ的取值范围是．