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设直线l:y=x+m,双曲线manfen5.com 满分网,双曲线的离心率为manfen5.com 满分网,l与E交于P,Q两点,直线l与y轴交于点R,且manfen5.com 满分网
(1)证明:4a2=m2+3;
(2)求双曲线E的方程;
(3)若点F是双曲线E的右焦点,M,N是双曲线上两点,且manfen5.com 满分网,求实数λ的取值范围.
(1)由题意知双曲线的方程可化为2x2-y2=2a2.设P(x1,y1),Q(x2,y2)由得:x2-2mx-m2-2a2=0.由此可知4a2=m2+3. (2)由题意知(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),由得m2=a2,由得a2=1则b2=2.故双曲线的方程为; (3)由题意知,设M(x1,y1),N(x2,y2).由得:.设直线MN的方程为.由得:.由此可求出λ的取值范围是. (1)∵双曲线的离心率为, ∴,从而b2=2a2. 双曲线的方程可化为2x2-y2=2a2. 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 由 得:x2-2mx-m2-2a2=0 则有x1+x2=2m,x1•x2=-m2-2a2 从而y1+y2=4m,y1y2=2m2-2a2 ∵ 则-m2-2a2+2m2-2a2=-3,即4a2=m2+3; (2)∵, ∴(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m) ∴, 由得m2=a2 由得a2=1则b2=2 故双曲线的方程为; (3)易知,设M(x1,y1),N(x2,y2). 由得: 设直线MN的方程为. 由得: 则, 消去y1,y2得: ∵, ∴, 解得或 当t=0时,可求出λ=1. 当直线MN与x轴重合时, 可求出或 故λ的取值范围是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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