第4章《锐角三角形》中考题集（24）：4.3 解直角三角形及其应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

将一个正方形纸板（如图-）沿虚线剪下，得到七块几何图形的纸板（其中①③⑤⑥⑦是等腰直角三角形，②是正方形）我们把这七块纸板叫做七巧板．现用七巧板拼出一个图形，其空隙部分是一个箭头（如图二）．

（1）请在图二中用实线画出拼图的痕迹（如实线DP）；
（2）如果图一中大正方形纸板的边长为10，计算图二中“箭头”的面积（即封闭平面图形ABCDEFG的面积）．

2. 难度：中等

如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC．那么：
（1）∠ADC=______度；
（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC的面积等于______

3. 难度：中等

探究问题：
（1）阅读理【解析】

①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此为托勒密定理；

（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC=PA；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+______；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段______的长度即为△ABC的费马距离．

（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．

4. 难度：中等

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．
（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值．

5. 难度：中等

如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．
（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；
（2）求证：△OPN∽△PMN；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

6. 难度：中等

已知：等边△ABC的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；
②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

7. 难度：中等

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．
（1）如图，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．求证：a²=b（b+c）．

（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中∠A=2∠B，关系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．

（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．

8. 难度：中等

某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A，B两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a，b，c表示长度，β表示角度．请你求出AB的长度（用含有a，b，c，β字母的式子表示）．

9. 难度：中等

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．

10. 难度：中等

已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由．

11. 难度：中等

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

12. 难度：中等

学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60度．
（1）若d=26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；
（2）当d=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？

13. 难度：中等

如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

14. 难度：中等

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCEF是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=130°，求菱形BCEF的面积．（结果保留三个有效数字）

15. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若EF=4，tan∠OAE=，求四边形AECF的面积．

16. 难度：中等

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、CE，∠BEC=90°．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积．

17. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值．

18. 难度：中等

如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．
（1）当α=0°时（如图2所示），求x，y的值（结果保留根号）；
（2）当α为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：

α	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°
x		0.03				0.29
y		0.29	0.13			0.03

（4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形．
（参考数据：≈1.732，sin15°=≈0.259，sin75°=≈0.966）

19. 难度：中等

已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求证：△CPB≌△AEB；
（2）求证：PB⊥BE；
（3）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

20. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长．

21. 难度：中等

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度数及AC的长．

22. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．

23. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于E，AE=1．求梯形ABCD的高．

24. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=．
（1）求点D到BC边的距离；
（2）求点B到CD边的距离．

25. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AB=2，AD=1.6，CD=3．
（1）求BD，BC的长；
（2）画出△BCD的外接圆（不写画法，保留作图痕迹），并指出AD是否为该圆的切线；
（3）计算tanC的值．

26. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒．
（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

27. 难度：中等

如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC=______°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=2，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

28. 难度：中等

如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．
（1）求证：AB=DE；
（2）若AC交DE于M，且AB=，ME=，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．

29. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，已知点M的坐标为（1，0），将线段OM绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M⊥OM，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂，如此下去，得到线段OM₃，OM₄，…，OM_n
（1）写出点M₅的坐标；
（2）求△M₅OM₆的周长；
（3）我们规定：把点M_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x_n，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的“绝对坐标”．根据图中点M_n的分布规律，请你猜想点M_n的“绝对坐标”，并写出来．

30. 难度：中等

如图，把正方形ACFG与Rt△ACB按如图（甲）所示重叠在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，得△A′B′C′，A B分别与A′C，A′B′相交于D、E，如图（乙）所示．
①△ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′？说明理由；
②求△ACB与△A′B′C′的重叠部分（即四边形CDEF）的面积（若取近似值，则精确到0.1）？