满分5 > 初中数学试题 >

已知:等边△ABC的边长为a. 探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、...

已知:等边△ABC的边长为a.
探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形且MN=manfen5.com 满分网a;
探究(2):在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分别为点D、E、F.
①如图2,若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):结论1. OD+OE+OF=manfen5.com 满分网a;结论2. AD+BE+CF=manfen5.com 满分网a;
②如图3,若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1,2是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
manfen5.com 满分网
(1)本题中△ABC为等边三角形,AB=BC=a,∠ABC=60°,求出∠N,∠G的值,在直角△AMB、△CNB中,可以先用a表示出MB,NB然后再表示出MN,这样就能证得MN=a; (2)判定①是否成立可通过构建直角三角形,把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解; 判断②是否成立,也要通过构建直角三角形,可根据勾股定理,把所求的线段都表示出来,然后经过化简得出结论②是否正确. (1)证明:如图1,∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=60°. ∵BC⊥MN,BA⊥MG, ∴∠CBM=∠BAM=90°. ∴∠ABM=90°-∠ABC=30°. ∴∠M=90°-∠ABM=60°. 同理:∠N=∠G=60°. ∴△MNG为等边三角形. 在Rt△ABM中,BM=a, 在Rt△BCN中,BN=a, ∴MN=BM+BN=a. (2)②:结论1成立. 证明:如图3,过点O作GH∥BC,分别交AB、AC于点G、H,过点H作HM⊥BC于点M, ∴∠DGO=∠B=60°,∠OHF=∠C=60°, ∴△AGH是等边三角形, ∴GH=AH. ∵OE⊥BC, ∴OE∥HM, ∴四边形OEMH是矩形, ∴HM=OE. 在Rt△ODG中,OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG, 在Rt△OFH中,OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH, 在Rt△HMC中,HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC, ∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH =(GH+HC)=AC=a. (2)②:结论2成立. 证明:如图4,连接OA、OB、OC,根据勾股定理得: BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①, CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②, AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③, ①+②+③得:BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2, ∴BE2+CF2+AD2=(a-AD)2+(a-BE)2+(a-CF)2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2 整理得:2a(AD+BE+CF)=3a2 ∴AD+BE+CF=a.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB=α(α为锐角).当∠MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合的位置开始,按逆时针方向旋转(∠MPN保持不变)时,M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x,ON=y(y>x>0),△POM的面积为S.若sinα=manfen5.com 满分网,OP=2.
(1)当∠MPN旋转30°(即∠OPM=30°)时,求点N移动的距离;
(2)求证:△OPN∽△PMN;
(3)写出y与x之间的关系式;
(4)试写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:①△AEF≌△BEC;②四边形BCFD是平行四边形;
(2)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值.
manfen5.com 满分网
查看答案
探究问题:
(1)阅读理【解析】

①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离;
②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB•CD+BC•DA=AC•BD.此为托勒密定理;
manfen5.com 满分网
(2)知识迁移:
①请你利用托勒密定理,解决如下问题:
如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的manfen5.com 满分网上任意一点.求证:PB+PC=PA;
②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法:
第一步:如图(D),在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆;
第二步:在manfen5.com 满分网上任取一点P′,连接P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)=P′A+______
第三步:请你根据(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段______的长度即为△ABC的费马距离.
manfen5.com 满分网
(3)知识应用:
2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.
manfen5.com 满分网
查看答案
如图,已知线段AB,分别以A、B为圆心,大于manfen5.com 满分网AB长为半径画弧,两弧相交于点C、Q,连接CQ与AB相交于点D,连接AC,BC.那么:
(1)∠ADC=______度;
(2)当线段AB=4,∠ACB=60°时,∠ACD=30度,△ABC的面积等于______

manfen5.com 满分网 查看答案
将一个正方形纸板(如图-)沿虚线剪下,得到七块几何图形的纸板(其中①③⑤⑥⑦是等腰直角三角形,②是正方形)我们把这七块纸板叫做七巧板.现用七巧板拼出一个图形,其空隙部分是一个箭头(如图二).
manfen5.com 满分网
(1)请在图二中用实线画出拼图的痕迹(如实线DP);
(2)如果图一中大正方形纸板的边长为10,计算图二中“箭头”的面积(即封闭平面图形ABCDEFG的面积).
查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.