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如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB...

如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB=α(α为锐角).当∠MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合的位置开始,按逆时针方向旋转(∠MPN保持不变)时,M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x,ON=y(y>x>0),△POM的面积为S.若sinα=manfen5.com 满分网,OP=2.
(1)当∠MPN旋转30°(即∠OPM=30°)时,求点N移动的距离;
(2)求证:△OPN∽△PMN;
(3)写出y与x之间的关系式;
(4)试写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.

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(1)当PM旋转到PM′时,点N移动到点N′,点N移动的距离NN′=ON′-ON; (2)已知两三角形两角对应相等,可利用AAA证相似 (3)可由(2)问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式. (4)根据图形得出S的关系式,然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围. (1)【解析】 ∵sina=且a为锐角, ∴a=60°,即∠BOA=∠MPN=60°.(1分) ∴初始状态时,△PON为等边三角形, ∴ON=OP=2,当PM旋转到PM'时,点N移动到N', ∵∠OPM'=30°,∠BOA=∠M'PN'=60°, ∴∠M'N'P=30°.(2分) 在Rt△OPM'中,ON'=2PO=2×2=4, ∴NN'=ON'-ON=4-2=2, ∴点N移动的距离为2;                          (3分) (2)证明:在△OPN和△PMN中, ∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM, ∴△OPN∽△PMN;                             (4分) (3)【解析】 ∵MN=ON-OM=y-x, ∴PN2=ON•MN=y(y-x)=y2-xy. 过P点作PD⊥OB,垂足为D. 在Rt△OPD中, OD=OP•cos60°=2×=1,PD=POsin60°=, ∴DN=ON-OD=y-1. 在Rt△PND中, PN2=PD2+DN2=()2+(y-1)2=y2-2y+4.(5分) ∴y2-xy=y2-2y+4, 即y=;                                  (6分) (4)【解析】 在△OPM中,OM边上的高PD为, ∴S=•OM•PD=•x•x.(8分) ∵y>0, ∴2-x>0,即x<2. 又∵x>0, ∴x的取值范围是0<x<2. ∵S是x的正比例函数,且比例系数, ∴0<S<×2,即0<S<.                (9分)
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考点分析:
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如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:①△AEF≌△BEC;②四边形BCFD是平行四边形;
(2)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值.
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探究问题:
(1)阅读理【解析】

①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离;
②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB•CD+BC•DA=AC•BD.此为托勒密定理;
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(2)知识迁移:
①请你利用托勒密定理,解决如下问题:
如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的manfen5.com 满分网上任意一点.求证:PB+PC=PA;
②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法:
第一步:如图(D),在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆;
第二步:在manfen5.com 满分网上任取一点P′,连接P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)=P′A+______
第三步:请你根据(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段______的长度即为△ABC的费马距离.
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(3)知识应用:
2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.
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(2)当线段AB=4,∠ACB=60°时,∠ACD=30度,△ABC的面积等于______

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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