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已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8. (...

已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8.
(1)若AC⊥BD,试求四边形ABCD的面积;
(2)若AC与BD的夹角∠AOD=60°,求四边形ABCD的面积;
(3)试讨论:若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”,且∠AOD=θ,AC=a,BD=b,试求四边形ABCD的面积(用含θ,a,b的代数式表示).

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(1)因为AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半; (2)过点A分别作AE⊥BD,CF⊥BD,根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积,那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积; (3)作辅助线AE⊥BD,CF⊥BD,利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高,那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积. 【解析】 (1)∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD的面积=AC•BD=40. (2)分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.                  (3分) ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AO=CO=AC=5,BO=DO=BD=4. 在Rt△AOE中,sin∠AOE=, ∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×=.       (4分) ∴S△AOD=OD•AE=×4××5=5.              (5分) ∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20.                (6分) (3)如图所示,过点A,C分别作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.   (7分) 在Rt△AOE中,sin∠AOE=, ∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ. 同理可得 CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ.                                   (8分) ∴四边形ABCD的面积 S=S△ABD+S△CBD=BD•AE+BD•CF =BDsinθ(AO+CO) =BD•ACsinθ =absinθ.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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