Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

Answer

（1）①三角形ABN和ADN中，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．
②通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由（1）可得∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可．
（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论．
【解析】
（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2．
∴点M到AD的距离为2．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=；

（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∵AC=6．
∴CM=CN=AC-AN=6-6．
故x=12-CM=12-（6-6）=18-6．
综上所述：当x=6或12或18-6时，△ADN是等腰三角形．