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已知:如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足∠ABE=...

已知:如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足∠ABE=∠CBP,BE=BP.
(1)求证:△CPB≌△AEB;
(2)求证:PB⊥BE;
(3)若PA:PB=1:2,∠APB=135°,求cos∠PAE的值.

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(1),(2)根据条件∠ABE=∠CBP,BE=BP,BC=AB,可证△CBP≌△ABE,所以∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°,即PB⊥BE. (3)连接PE,则BE=BP,∠PBE=90°,∠BPE=45°,设AP为k,利用题中的比例式和勾股定理可求得PE=2k,AE=3k,所以cos∠PAE==. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=AB,(1分) ∵∠CBP=∠ABE,BP=BE, ∴△CBP≌△ABE. (2)证明:∵∠CBP=∠ABE, ∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°, ∴PB⊥BE. (1)、(2)两小题可以一起证明. 证明:∵∠CBP=∠ABE, ∴∠PBE=∠ABE+∠ABP(1分) =∠CBP+∠ABP =90°(2分) ∴PB⊥BE.(3分) 以B为旋转中心,把△CBP按顺时针方向旋转90°.(4分) ∵BC=AB,∠CBA=∠PBE=90°,BE=BP.(5分) ∴△CBP与△ABE重合, ∴△CBP≌△ABE.(6分) (3)【解析】 连接PE, ∵BE=BP,∠PBE=90°, ∴∠BPE=45°,(7分) 设AP为k,则BP=BE=2k, ∴PE2=8k2,(8分) ∴PE=2k, ∵∠BPA=135°,∠BPE=45°, ∴∠APE=90°,(9分) ∴AE=3k, 在直角△APE中:cos∠PAE==.(10分)
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考点分析:
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如图1,正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1,点E,F分别在线段AB,AD上滑动,设点G到CD的距离为x,到BC的距离为y,记∠HEF为α(当点E,F分别与B,A重合时,记α=0°).
(1)当α=0°时(如图2所示),求x,y的值(结果保留根号);
(2)当α为何值时,点G落在对角形AC上?请说出你的理由,并求出此时x,y的值(结果保留根号);
(3)请你补充完成下表(精确到0.01):
α15°30°45°60°75°90°
x0.030.29
y0.290.130.03
(4)若将“点E,F分别在线段AB,AD上滑动”改为“点E,F分别在正方形ABCD边上滑动”.当滑动一周时,请使用(3)的结果,在图4中描出部分点后,勾画出点G运动所形成的大致图形.
(参考数据:manfen5.com 满分网≈1.732,sin15°=manfen5.com 满分网≈0.259,sin75°=manfen5.com 满分网≈0.966)
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如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.
(1)求证:△ABE≌△DFA;
(2)如果AD=10,AB=6,求sin∠EDF的值.

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已知:如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,连接BE、CE,∠BEC=90°.
(1)求证:BE平分∠ABC;
(2)若EC=4,且manfen5.com 满分网,求四边形ABCE的面积.

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如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,过对角线AC的中点O作EF⊥AC,分别交边AB、CD于点E、F,连接CE、AF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若EF=4,tan∠OAE=manfen5.com 满分网,求四边形AECF的面积.

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如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCEF是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=130°,求菱形BCEF的面积.(结果保留三个有效数字)

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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