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如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且...

如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.

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(1)利用菱形的性质和正三角形的特点进行证明; (2)△BEF为正三角形,可解用(1)全等的结论证明; (3)作出恰当的辅助线,构成直角三角形,根据直角三角形的特点和三角函数进行计算. (1)证明:∵菱形ABCD的边长为2,BD=2, ∴△ABD和△BCD都为正三角形, ∴∠BDE=∠BCF=60°,BD=BC, ∵AE+DE=AD=2,而AE+CF=2, ∴DE=CF, ∴△BDE≌△BCF; (2)【解析】 △BEF为正三角形. 理由:∵△BDE≌△BCF, ∴∠DBE=∠CBF,BE=BF, ∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°, ∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°, ∴△BEF为正三角形; (3)【解析】 设BE=BF=EF=x, 则S=•x•x•sin60°=x2, 当BE⊥AD时,x最小=2×sin60°=, ∴S最小=×=, 当BE与AB重合时,x最大=2, ∴S最大=×22=, ∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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