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如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm...

如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止).设P、Q同时出发并运动了t秒.
(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值;
(2)试问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由.

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(1)可通过构建直角三角形来求解.过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,很显然AE=BF,四边形DQPE和QCFP是矩形,那么就能用等腰梯形的上下底的差求出AE,BF的长,然后可用时间表示出CQ,DQ,AP的长,由于DQ=EP,因此可用AP=AE+EP求出时间的值. (2)先要求出梯形的面积,那么求出高就是关键,在直角三角形AED中,可用勾股定理求出高,也就求出了四边形QPBC的面积,由于Q在CD和DA上运动,因此要分Q在CD上,和Q在AD上两种情况进行讨论. 当Q在CD上时,可用时间t表示出CQ和BP的长,然后根据计算出的高和四边形CQPB的面积,来求出时间t的值,要注意当Q在CD上时,t应该在0-2秒内,可用这个取值范围来判定求出的值是否符合题意. 当Q在AD上时,四边形QPBC是个不规则的四边形,那么根据他的面积是梯形的一半,那么四边形QPBC的面积就应该等于三角形CDQ和AQP的面积和,那么就需要作出这两个三角形的高以便求出面积,过点Q作HG⊥AB于G,交CD的延长线于H.求出QH和QG就是解题的关键. 可以用时间t先表示出CQ,AP,然后根据CD+DQ=CQ进而表示出QD和AQ,那么我们可在直角三角形AQG中根据∠A的度数求出QG,然后根据求出的梯形的高得出QH的值,这样就能用含t的式子表示出三角形QDC和AQP的面积,也就是四边形QPBC的面积,根据求出的四边形的面积可得出t的值,要注意Q在AD上时,取值范围是2-4秒,因此可根据这个取值范围判定求出的t是否符合题意. 【解析】 (1)过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,如图1. ∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴四边形CDEF是矩形, ∴DE=CF. 又∵AD=BC, ∴Rt△ADE≌Rt△BCF,AE=BF. 又CD=2cm,AB=8cm, ∴EF=CD=2cm, AE=BF=(8-2)=3(cm). 若四边形APQD是直角梯形,则四边形DEPQ为矩形. ∵CQ=t, ∴DQ=EP=2-t, ∵AP=AE+EP, ∴2t=3+2-t, ∴t=. (2)在Rt△ADE中,DE=(cm), S梯形ABCD=(8+2)×3=15(cm2). 当S四边形PBCQ=S梯形ABCD时, ①如图2,若点Q在CD上,即0≤t<2, 则CQ=t,BP=8-2t. S四边形PBCQ=(t+8-2t)×3=, 解之得t=3(舍去). ②如图3,若点Q在AD上,即2≤t<4. 过点Q作HG⊥AB于G,交CD的延长线于H. 由图1知,sin∠ADE=AE:AD=, ∴∠ADE=30°, 则∠A=60度.在Rt△AQG中,AQ=8-t,QG=AQ•sin60°=, 在Rt△QDH中,∠QDH=60°,DQ=t-2,QH=DQ•sin60°=. 由题意知,S四边形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=×2t×+×2×, 即t2-9t+17=0,解之得(不合题意,舍去),. 答:存在,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半.
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考点分析:
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如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABD=∠C,AB=2,AD=1.6,CD=3.
(1)求BD,BC的长;
(2)画出△BCD的外接圆(不写画法,保留作图痕迹),并指出AD是否为该圆的切线;
(3)计算tanC的值.

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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=5,tanC=manfen5.com 满分网
(1)求点D到BC边的距离;
(2)求点B到CD边的距离.

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已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=2,BC=4.求∠B的度数及AC的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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