四川省毕业班第三次诊断性考试数学（理）试卷

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集，集合， 满足，则下列结论正确的是（    ）

A.     B.

C.     D.

2. 难度：简单

已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

3. 难度：简单

已知为锐角，若，则（    ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：简单

已知实数， 满足不等式则的最大值为（    ）

A. 0    B. 2    C. 4    D. 5

5. 难度：简单

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位： ）,则该阳马的外接球的体积为（    ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：简单

运行如图所示的程序，若输出的值为1，则输入的值为（    ）

A. 0或    B.     C. 1    D. 0

7. 难度：简单

设直角坐标平面内与两个定点， 的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是.过点作与轴垂直的直线与曲线交于， 两点，则（    ）

A.     B.     C. 3    D. 9

8. 难度：简单

利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3,567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示.若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为的概率为.下列选项中，最难反映与的关系是（   ）

A．          B．         C．          D．

9. 难度：中等

已知为正整数，函数在区间内单调递增，则函数（    ）

A. 最小值为，其图象关于点对称

B. 最大值为，其图象关于直线对称

C. 最小正周期为，其图象关于点对称

D. 最小正周期为，其图象关于直线对称

10. 难度：中等

将正方形沿对角线折成直二面角后的图形如图所示，若为线段的中点，则直线与平面所成角的余弦为（    ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：困难

在直角梯形中， ， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的半圆分别交及其延长线于点， ，点在上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：困难

已知椭圆： （）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于， 两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（    ）

A. 2    B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

从0,1,2,3,4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是__________．（结果用最简分数表示）

14. 难度：简单

曲线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．

15. 难度：简单

在中， ， ，点在上，且，则__________．

16. 难度：困难

已知函数（其中）有两个零点，则的取值范围是__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列中， ，其前项和满足： （）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

18. 难度：中等

第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办.交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下数据：

（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程；

（Ⅱ）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还.若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）.

（参考公式： ， ）

19. 难度：中等

如图，三棱柱中，侧棱底面， ， ， 是棱的中点.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）证明直线恒过定点，并求这个定点的坐标.

21. 难度：中等

已知函数（， ），曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求， 的值；

（Ⅱ）证明： ；

（Ⅲ）已知满足的常数为.令函数（其中是自然对数的底数， ），若是的极值点，且恒成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

已知，在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）；在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程是.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）设点的极坐标为， 为直线， 的交点，求的最大值.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）对于任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围.