Question

如图，三棱柱中，侧棱底面， ， ， 是棱的中点.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】试题分析：

(1)首先由题意证得平面.然后结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面；

(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量可得平面与平面所成二面角的余弦值为.

试题解析：

（Ⅰ）因为侧棱底面，

所以，

又因为， ，

所以平面，

因为平面，

所以，

设，由， ， 是棱的中点.

所以， ，

则 ，

所以，

因，

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）如图所示，分别以， ， 所在直线为， ， 轴建立空间直角坐标系，

不妨设，则， ， ， .

显然是平面的一个法向量，

设平面的法向量，

由

令，得平面的一个法向量，

所以 ，

即平面与平面所成二面角的余弦值为.

点睛：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.