Question

第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办.交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下数据：

（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程；

（Ⅱ）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还.若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）.

（参考公式： ， ）

Answer

（1）（2）该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元.

【解析】试题分析：

(1)利用题意可求得回归方程为.

(2)利用回归方程预测需要原材料34.2袋，结合分段函数讨论可得该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元.

试题解析：

（Ⅰ）由数据，求得，

，

，

，

， ，

所以关于的线性回归方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当时， ，

即预计需要原材料34.2袋，

因为

所以，若，利润 ，

当时，利润 元；

若，利润 ，

当时，利润 元；

综上所述，该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元.