已知函数（，），曲线在处的切线方程为. （Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：； ...

已知函数（，），曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）已知满足的常数为.令函数（其中是自然对数的底数，），若是的极值点，且恒成立，求实数的取值范围.

（1）， .（2）详见解析；（3）【解析】试题分析： (1)由导函数与切线方程的关系可得， . (2)利用题意构造新函数，结合新函数的性质即可证得； (3)由题意，当时，无极值，不符合题意；当时，是函数的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，可得 . 由题意考察函数，可得的取值范围是. 试题解析：（Ⅰ）的导函数，由曲线在处的切线方程为，知，，所以， . （Ⅱ）令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，取得极小值，也即最小值，该最小值为，所以，即不等式成立. （Ⅲ）函数（），则，当时，，函数在内单调递增，无极值，不符合题意；当时，由，得，结合，在上的图象可知，关于的方程一定有解，其解为（），且当时，，在内单调递增；当时，，在内单调递减. 则是函数的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，也是在上的唯一零点，即，则. 所以 . 由于恒成立，则，即，（*）考察函数，则，所以为内的增函数，且，，又常数满足，即，所以，是方程的唯一根，于是不等式（*）的解为，又函数（）为增函数，故，所以的取值范围是.

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考点分析：

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