2015-2016学年辽宁鞍山一中等校高二下期末理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知随机变量，下列概率与相等的是（   ）

A．              B．    

C．            D．

2. 难度：简单

设直线与曲线所围成的封闭图形的面积为，某同学给出了关于的以下五种表

示：

①；

②；

③；

④；

⑤，

其中表示正确的序号是（   ）

A．①③          B．④⑤             C．②④⑤          D．②③④⑤

3. 难度：简单

已知复数，则（   ）

A．        B．      C．的实部为1          D．为纯虚数

4. 难度：简单

有一段“三段论”推理是这样的：对于定义域内可导函数，如果，那么在定义域内单调递增；因为函数满足在定义域内导数值恒正，所以，在定义域内单调递增.以上推理中（   ）

A．大前提错误       B．小前提错误     C．推理形式错误           D．结论正确

5. 难度：简单

已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（   ）

A．变量，之间呈现负相关关系         

B．

C．可以预测，当时，        

D．由表格数据知，该回归直线必过点 

6. 难度：简单

从中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为（   ）

A．                  B．                C．             D．

7. 难度：中等

在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（   ）

A．                B．             C．           D．28

8. 难度：简单

已知结论：“在正中，若是边的中点，是的重心，则.”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体的距离都相等，则（   ）

A．1              B．2                     C．3               D．4

9. 难度：简单

一个五位自然数，，当且仅当时称为“凸数”（如12543，34643等），则满足条件的五位自然数中“凸数”的个数为（   ）

A．81              B．171                C．231               D．371

10. 难度：困难

已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（   ）

A．1                B．               C．            D．

11. 难度：简单

体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是（   ）

A．           B．          C．        D．

12. 难度：困难

定义在区间上的函数使不等式恒成立，其中为的导数，则（   ）

A．           B．           

C．            D．

二、填空题

13. 难度：简单

古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2016个三角数与第2015个三角数的差为        .

14. 难度：简单

同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为，则的数学期望是        .

15. 难度：简单

不定方程的非负整数解的个数为        .

16. 难度：简单

若函数的图象关于直线对称，则的最小值是      .

三、解答题

17. 难度：中等

已知为实数，复数.

（1）当为何值时，复数为纯虚数？

（2）当时，复数在复平面内对应的点落在直线上，其中，求的最小值及取得最值时的、值.

18. 难度：中等

4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.

（1）求的值并估计该校3000名学生中读书迷大概有多少？（将频率视为概率）

（2）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“读书迷”与性别有关?

	非读书迷	读书迷	合计
男		15
女			45
合计

（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的学生的阅读时间？说明理由.

附：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

19. 难度：简单

已知．

（1）求及；

（2）试比较与的大小，并说明理由.

20. 难度：中等

设函数.

（1）若，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，证明：；

（3）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.

21. 难度：困难

设函数.

（1）若，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，证明：；

（3）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.

22. 难度：简单

选修4—1：平面几何证明选讲

如图，、切⊙于、，为⊙的割线.

（1）求证：；

（2）已知，，求与的比值.

23. 难度：简单

选修4—4：极坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求弦长.

24. 难度：简单

选修4—5：不等式选讲

设不等式的解集为，.

（1）证明：；

（2）比较与的大小.