Question

已知．

（1）求及；

（2）试比较与的大小，并说明理由.

Answer

（1），；（2）当时，，当时，，当时，，当时，，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设等式运用赋值法求解；（2）运用数学归纳法分析推证.

试题解析：

（1）取，可得，对等式两边求导，得

，

取，则.

（2）要比较与的大小，即比较：与的大小，

当时，；当时，；当时，；当时，，

猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：

（i）当时，，猜想成立，

（ii）假设当，时结论成立，即，

当时，，

而，

∴，故当时猜想也成立，

综合，当时，；当时，；当时，；当时，.

考点：赋值法及数学归纳法的综合运用．

【易错点晴】本题以二项式定理的展开式的等式为背景，考查的是赋值法和数学归纳法等重要数学思想方法的灵活运用.解答本题的关键是搞清第一问中的的解析表达式的内容，为第二问的比较大小埋下伏笔.求解时，第一问直接赋值即可得到，然后将其与进行比较，最后再运用数学归纳法进行证明.运用数学归纳法时一定要注意数学归纳法证明命题的步骤和格式，这是学生容易忽视的地方，特别是由到的台阶要设计好.