Question

设函数.

（1）若，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，证明：；

（3）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）运用导数及二次函数的判别式等知识求解；（2）借助题设条件构造函数运用导数知识推证；（3）依据题设条件运用导数的有关知识分类分析推证求解.

试题解析：

（1）由已知，时，，的定义域为，求导得，

∵有两个极值点，有两个不同的正根，故的判别式，即，且，，所以的取值范围为.

（2）由（1）得且，得，∴，

令，则，

当时，，在上市增函数，∴，

∴.

（3）令，由于，所以为关于的递减的一次函数

根据题意，对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，则

上有解，令，则只需存在使得即可，由于，令，，，

∴在上单调递增，∴，

①当，即时，，∴在上是增函数，∴，不符合题意；

②当，即时，，

（i）若，即时，在上恒成立，即恒成立，∴在上单调递减，∴存在使得，∴，符合题意；

（ii）若，即时，在上存在实数，使得，

∴在上，恒成立，即恒成立，∴在上单调递减，∴存在使得符合题意.

综上所述，当时，对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立.

考点：导数及有关知识的综合运用．

【易错点晴】函数是高中数学的核心内容，也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时，一定要先求导，再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方），其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号，以便确定其单调性，这是解答这类问题容易忽视的.本题第一问的求解过程则是借助导函数有零点运用二次函数的判别式进行求解的.第二问的推证则是借助构造函数运用导数来完成的.第三问则是先构造函数，再借助函数的单调性运用分析转化的思维方式进行推证，最后求出的取值范围.