2011-2012学年福建省莆田一中高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数Z₁=m+2i，Z₂=3+4i，若Z₁•Z₂为实数，则实数m的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．-

2. 难度：中等

设集合S={x||x-2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（ ）
A．-3＜a＜-1
B．-3≤a≤-1
C．a≤-3或a≥-1
D．a＜-3或a＞-1

3. 难度：中等

我市某学校在“11•9”举行老师、学生消防知识比赛，报名的学生和教师的人数之比为6：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取35人组队进行比赛，已知教师甲被抽到的概率为，则报名的学生人数是（ ）
A．350
B．30
C．300
D．35

4. 难度：中等

下列判断错误的是（ ）
A．“am²＜bm²”是“a＜b”的充分不必要条件
B．命题“∀x∈R，x³-x²-1≤0”的否定是“∃x∈R，x³-x²-1＞0”
C．若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数
D．若P∧q为假命题，则p，q均为假命题

5. 难度：中等

△ABC中，∠A=，BC=3，AB=，则∠C=（ ）
A．
B．
C．
D．或

6. 难度：中等

已知椭圆x²+ky²=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；    
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α； 
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

直线x-y+m=0与圆x²+y²-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A．-3＜m＜1
B．-4＜m＜2
C．0＜m＜1
D．m＜1

9. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．x=1
D．x=2

10. 难度：中等

实数x，y满足不等式组，且z=ax+y（a＞0）取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．1
C．2
D．无法确定

11. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，使不等式成立的最大自然数是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

12. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）e^x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

曲线y=x³+x-2的一条切线平行于直线y=4x-1，则切点P的坐标为     ．

14. 难度：中等

若函数，且f（f（2））＞7，则实数m的取值范围为    ．

15. 难度：中等

某三棱锥有五条棱的长度都为2，则当该三棱锥的表面积最大时其体积为    ．

16. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x²+y²=r²（r＞0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若=a•+b•（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，，其中ω＞0，且，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）设α是第一象限角，且，求的值．

18. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）当PD=1时，求此四棱锥的表面积．

19. 难度：中等

从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）．第二组[160，165）；…第八组[190，195]，图是按上述分组方法得到的条形图．


（1）根据已知条件填写下面表格：

组 别	1	2	3	4	5	6	7	8
样本数

（2）估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？

20. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满足．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若（n∈N^*），T_n为{c_n}的前n项和，求T_n．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆C：（a＞0，b＞0）过点P（），上、下焦点分别为F₁、F₂，向量．直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点为m（）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的方程；
（3）记椭圆在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，若曲线x²-2mx+y²+4y+m²-4=0与区域D有公共点，试求m的最小值．

22. 难度：中等

已知函数（其中常数a，b∈R），．
（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．