Question

已知函数（其中常数a，b∈R），．
（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

Answer

（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．
（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．
（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，
等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，
因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（-x）=-f（x）成立，
得，∴，
∴，得，
令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，
经检验x=±1是函数f（x）的极值点．
（Ⅱ）因为 ，∴，
令f'（x）＞0⇒-ax2-2bx+a＞0，得ax2+2bx-a＜0，
①当a＞0时，方程ax2+2bx-a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，
单调递增区间为，
②当a＜0时，单调递增区间为和．
（Ⅲ） 因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．
当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：

x （0，x） x （x，a）
g'（x） + -
g（x） ↗ ↘

∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．
又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，
b=0时，由函数是奇函数，且，
∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；
当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，
∴函数f（x）的最小值为，
要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），
∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，
∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．