2012-2013学年浙江省名校新高考研究联盟高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z₁=3-bi，z₂=1-2i，若是实数，则实数b的值为（ ）
A．6
B．-6
C．0
D．

2. 难度：中等

已知集合，则（∁_RB）∩A等于（ ）
A．R
B．（1，2]
C．[0，1]
D．ϕ

3. 难度：中等

一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）
A．m＞1，且n＜1
B．mn＜0
C．m＞0，且n＜0
D．m＜0，且n＜0

4. 难度：中等

当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且图象关于点对称
B．偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．奇函数且图象关于直线对称
D．偶函数且图象关于点对称

5. 难度：中等

已知每项均大于零的数列{a_n}中，首项a₁=1且前n项的和S_n满足（n∈N^*，且n≥2），则a₈₁=（ ）
A．638
B．639
C．640
D．641

6. 难度：中等

已知P为双曲线C：上的点，点M满足，且，则当取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．4
D．5

7. 难度：中等

如图，在平面斜坐标中∠xoy=45°，斜坐标定义为（其中分别为斜坐标系的x轴，y轴的单位向量），则点P的坐标为（x，y）．若F₁（-1，0），F₂（1，0），且动点M（x，y）满足，则点M在斜坐标系中的轨迹方程（ ）

A．x=0
B．y=0
C．
D．

8. 难度：中等

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点，F是侧面CDD₁C₁上的动点，且B₁F∥面A₁BE，则B₁F与平面CDD₁C₁ 所成角的正切值构成的集合是（ ）
A．2
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”（如：6，24，2013等均为“好数”），将所有“好数”从小到大排成一列a₁，a₂，a₃，…，若a_n=2013，则n=（ ）
A．50
B．51
C．52
D．53

10. 难度：中等

设函数，若有且仅有一个正实数x，使得h₇（x）≥h_t（x）对任意的正数t都成立，则x=（ ）
A．5
B．
C．3
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若公比为，且满足a₃•a₁₁=16，则log₂a₁₆=    ．

12. 难度：中等

二项式（4^x-2^-x）⁶（x∈R）展开式中的常数项是    ．

13. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出s和n，则s+n的值为    ．

14. 难度：中等

已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是    ．

15. 难度：中等

设圆C：（x-3）²+（y-5）²=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）=x（）^x+，A为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）  的点，向量，向量，设θ_n为向量与向量的夹角，则满足的最大整数n是    ．

17. 难度：中等

已知函数 ．若对任意的实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．

19. 难度：中等

甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E（X）．

20. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；
（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

21. 难度：中等

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点（x，y）处的椭圆的切线方程是．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+-x²-2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-时，方程f（1-x）=有实根，求实数b的最大值．