Question

甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E（X）．

Answer

（I）依题意每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{an}，根据a1=40，an=10n+30，得到数列的前n项和，得到n的值，从而可得结论；
（II）确定随机变量X可取的值，求出相应的概率，即可求X的均值E（X）．
【解析】
（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为{an}，则易知a1=40，an=10n+30，
∴，
解得n=-12（舍去）或n=5，所以此决赛共比赛了5场．        …（3分）
则前4场比赛的比分必为1：3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为；…（6分）
（II）随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490    …（7分）
又…（8分）…（12分）
所以，X的分布列为

X 220 300 390 490
P

所以X的均值为E（X）=+=377.5．