Question

设函数f（x）=x（）^x+，A为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）  的点，向量，向量，设θ_n为向量与向量的夹角，则满足的最大整数n是    ．

Answer

先确定点An=（n，f（n）），再确定，然后明确夹角θn，进一步表示出tanθn，最后可由列举法求出满足要求的最大整数n．
【解析】
∵An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）  的点
函数f（x）=x（）x+，
∴An=（n，f（n）），
又∵向量，
∴=，
又∵向量，θn为向量与向量的夹角，
则θn为直线AAn的倾斜角，
所以tanθn==（）n+，
所以=[++…+（）n]+（1-+-+…+-）
=1-（）n+1-=-（）n，
当n=10时，=-（）10＜
当n=11时，=-（）11＞
故满足要求的最大整数n是10．
故答案为：10