Question

已知函数 ．若对任意的实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，则实数k的取值范围是    ．

Answer

函数 的解析式可化为f（x）=，令t=，（t≥3），则f（x）=y=1+，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k的不等式，求出各种情况下实数k的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k的取值范围．
【解析】
∵函数 =
令t=，（t≥3）
则f（x）=y=1+
若k-1＜0，即k＜1，函数y=1+在[3，+∞）上为增函数
此时的函数f（x）=y值域为[1+，1）
若不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立
则2（1+）≥1，就可以满足条件
解得＜1
若k-1=0，即k=1，
f（x）=1，不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）显然成立
若k-1＞0，即k＞1
函数y=1+在[3，+∞）上为减函数
此时的函数f（x）=y值域为（1，1+]
若不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立
则1+1≥1+，
解得1＜k≤4
综上所述：≤4
故答案为：≤4