Question

已知P为双曲线C：上的点，点M满足，且，则当取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．4
D．5

Answer

依题意可求得点P的坐标为P（3，0），利用点到直线间的距离公式即可求得点P到双曲线C的渐近线的距离．
【解析】
∵=1，
∴点M的轨迹是以原点为圆心，1为半径的单位圆；
不妨设P为双曲线右支上的任一点，∵•=0，
∴OM⊥PM，
∴△OPM为直角三角形，且∠OMP=90°，|OP|为该直角三角形的斜边长；
∵P为双曲线C：上的点，
在Rt三角形OPM中，要使直角边最小，由于=1，故只需|OP|最小，
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|OP|最小，此时P（3，0）．
∵双曲线C：-=1的一条渐近线方程为y=x，
∴点P到渐近线4x-3y=0的距离d==．
故选B．