2012-2013学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为    ．

2. 难度：中等

已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为60°，则此三棱锥的体积为    ．

3. 难度：中等

直线ax+2y+6=0与直线x+（a-1）y+（a²-1）=0平行，则a=    ．

4. 难度：中等

双曲线x²-=1的渐近线被圆x²+y²-6x-2y+1=0所截得的弦长为    ．

5. 难度：中等

设l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是    ．（填序号）
①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m；
②若l∥m，m⊥α，l⊥β，则α∥β；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若α⊥β，α∩β=m，l⊂β，l⊥m，则l⊥α．

6. 难度：中等

如图，倒置的顶角为60°的圆锥形容器，有一个实心铁球浸没于容器的水中，水面恰好与球相切，若取出这个铁球，测得容器的水面深度为cm，则这个铁球的表面积为    cm²．

7. 难度：中等

经过点M（1，-1）且与点A（-1，2）、B（3，0）距离相等的直线方程为    ．

8. 难度：中等

圆C通过不同的三点P（λ，0），Q（3，0），R（0，1），又知圆C在点P处的切线的斜率为1，则λ为    ．

9. 难度：中等

直线xcosθ+y-1=0（θ∈R）的倾斜角的范围是    ．

10. 难度：中等

过定点（-1，0）可作两条直线与圆x²+y²+2kx+4y+3k+8=0相切，则k的取值范围是    ．

11. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中点，则下列结论正确的是    （填序号）
①线段A₁M与B₁C所在直线为异面直线；
②对角线BD₁⊥平面AB₁C；
③平面AMC⊥平面AB₁C；
④直线A₁M∥平面AB₁C．

12. 难度：中等

已知F是椭圆5x²+9y²=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，则|PA|+|PF|的最大值是    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²=4上恰有两个点到直线4x-3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，3），直线l：x+y-4=0，点N（x，y）是圆C：x²+y²-2x-1=0上的动点，MA⊥l，NB⊥l，垂足分别为A、B，则线段AB的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为1，那么动点P的轨迹可能是以下    曲线．（填写序号）①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线．

二、解答题

17. 难度：中等

已知点A（-2，2）及点B（-8，0），试在直线l：2x-y+1=0上，求出符合下列条件的点P：
（1）使|PA|+|PB|为最小；
（2）使|PA|²+|PB|²为最小．

18. 难度：中等

如图①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4；将△BCD沿CD折起，如图②，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，点F是AB的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCD；
（2）在线段DE上是否存在一点G，使FG∥平面BDC？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁、BC的中点．
（1）证明：C₁F∥平面ABE；
（2）若P是线段BE上的点，证明：平面A₁B₁C⊥平面C₁FP；
（3）若P在E点位置，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

20. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：（x+1）²+y²=16，点F（1，0），E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D．
（1）求点B的轨迹方程；
（2）当D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；
（3）若G是圆上的另一个动点，且满足FG⊥FE．记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）若是一个常数，求椭圆C的离心率；
（3）当b=1时，过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点，其中点D在第一象限，它在x轴上的射影为点G，直线EG交椭圆C于另一点H，是否存实数a，使得对任意的k＞0，都有DE⊥DH？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．