Question

已知点A（-2，2）及点B（-8，0），试在直线l：2x-y+1=0上，求出符合下列条件的点P：
（1）使|PA|+|PB|为最小；
（2）使|PA|²+|PB|²为最小．

Answer

（1））设A关于直线l的对称点A′坐标为（x，y），求出A′，推出A′B的直线方程，然后求出P使|PA|+|PB|为最小；
（2）设动点P的坐标为（t，2t+1），列出|PA|2+|PB|2，通过二次函数求出最小值时P的坐标．
【解析】
（1）使|PA|+|PB|为最小，只需求A关于直线l的对称点A′与B的距离最小．
设A关于直线l的对称点A′坐标为（x，y），
则解得，
即A′（2，0）
求得A′B的直线方程为：y=0．
求得点P（-，0）．…（7分）
（2）设动点P的坐标为（t，2t+1），
则|PA|2+|PB|2=（t+2）2+（2t-1）2+（t+8）2+（2t+1）2=10t2+20t+70
当t=-1时，取得最小值，即P（-1，-1）…（14分）