Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为1，那么动点P的轨迹可能是以下    曲线．（填写序号）①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线．

Answer

作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得 PR2-PQ2=RQ2=1，结合PR2-PM2=1，可得PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，由此可得结论．
【解析】
如图所示：正方体ABCD-A1B1C1D1  中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离．
由题意可得PR2-PQ2=RQ2=1．
又已知PR2-PM2=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，
根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故答案为：⑤