Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中点，则下列结论正确的是    （填序号）
①线段A₁M与B₁C所在直线为异面直线；
②对角线BD₁⊥平面AB₁C；
③平面AMC⊥平面AB₁C；
④直线A₁M∥平面AB₁C．

Answer

由线段A1M所在平面AD1A1与B1C所在平面BCC1B1互相平行，且直线A1M与B1C不平行，知线段A1M与B1C所在直线为异面直线；设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够得到对角线BD1⊥平面AB1C，平面AMC⊥平面AB1C，直线A1M与平面AB1C不平行．
【解析】
∵线段A1M所在平面AD1A1与B1C所在平面BCC1B1互相平行，
且直线A1M与B1C不平行，
∴线段A1M与B1C所在直线为异面直线，
故①正确；
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），M（0，0，1），D1（0，0，2），
∴，，，，
∴=0-4+4=0，=4-4+0=0，
∴，，
∴BD1⊥AB1，BD1⊥AC，
∴对角线BD1⊥平面AB1C，
故②正确；
设平面AMC的法向量为=（x1，y1，z1），则，，
∴，∴=（1，1，2），
设平面AB1C的法向量为=（x2，y2，z2），则，=0，
∴，∴=（1，1，-1），
∵=1+1-2=0，
∴平面AMC⊥平面AB1C，
故③正确；
∵A1（2，0，2），M（0，0，1），
∴，
∵=-2+0+1=-1≠0，
∴直线A1M与平面AB1C不平行，
故④不正确．
故答案为：①②③．