Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁、BC的中点．
（1）证明：C₁F∥平面ABE；
（2）若P是线段BE上的点，证明：平面A₁B₁C⊥平面C₁FP；
（3）若P在E点位置，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer

（1）取AB中点G，连接GF、GE，可以证出四边形EGFC1为平行四边形，从而得到C1F∥EG，最后结合线面平行判定定理，可得C1F∥平面ABE．
（2）根据线面垂直的判定与性质和题中的直三棱柱性质，证出A1B1⊥C1F且B1C⊥C1F，从而得到C1F⊥平面A1B1C，结合C1F⊂平面C1FP，可得平面A1B1C⊥平面C1FP．
（3）根据E是A1C1的中点，得到E到平面BCC1B1的距离是A1到平面BCC1B1的距离一半，得到以△B1C1F为底的高等于A1B1=，算出△B1C1F的面积并结合锥体体积公式，可算出三棱锥P-B1C1F的体积．
【解析】
（1）取AB中点G，连接GF、GE，
∵F为BC中点，∴FG∥AC，且FG=AC
而由三棱柱可得，C1E∥AC，且C1E=AC，∴FG∥C1E且FG=C1E
∴四边形EGFC1为平行四边形，得C1F∥EG，
∵EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
∴C1F∥平面ABE．…（5分）
（2）△ABC中，AC=4，CB=2，∠ACB=60°，
可求得AB=2且∠ABC=90°即AB⊥BC
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC≌△A1B1C1，∴∠A1B1C1也为90°，即A1B1⊥B1C1，
又由直三棱柱可得BB1⊥底面A1B1C1，∴BB1⊥A1B1，
∵BB1∩B1C1=B1，BB1、B1C1⊂侧面B1C1CB，∴A1B1⊥侧面B1C1CB结合C1F⊂侧面B1C1CB，得A1B1⊥C1F；
在侧面矩形B1C1CB中，BB1=，BC=2，F为BC中点
∴△C1CF∽△CBB1，从而得∠BCB1=∠FC1C
∴∠C1FC+∠BCB1=∠C1FC+∠FC1C=90°，即B1C⊥C1F；
又∵A1B1∩B1C=B1，A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，
∴C1F⊥平面A1B1C
又∵C1F⊂平面C1FP，
∴平面A1B1C⊥平面C1FP．…（12分）
（3）∵P在E点位置，三棱锥P-B1C1F即为三棱锥E-B1C1F
∵E是A1C1的中点，∴E到平面BCC1B1的距离是A1到平面BCC1B1的距离一半
又∵A1B1⊥平面BCC1B1，且A1B1=2，∴P到平面BCC1B1的距离d=A1B1=
而在矩形BCC1B1中，S△B1C1F=S矩形BCC1B1=
∴V三棱锥=×S△B1C1F×d=…（16分）