Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）若是一个常数，求椭圆C的离心率；
（3）当b=1时，过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点，其中点D在第一象限，它在x轴上的射影为点G，直线EG交椭圆C于另一点H，是否存实数a，使得对任意的k＞0，都有DE⊥DH？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用点P（-1，）在圆上，可得b的值，根据PA是⊙O的切线，可求a的值，从而可得椭圆C的方程；
（2）利用是一个常数，可得当点P分别在（±b，0）时比值相等，即=，由此可求椭圆的离心率；
（3）如若存在，设椭圆方程，将D，H坐标代入，利用点差法，结合E、G、H三点共线，即kEH=kEG，利用DE⊥DH，即可求得结论．
【解析】
（1）∵点P（-1，）在圆上，∴b2=4
又∵PA是⊙O的切线，∴△OPA为直角三角形，∠POA=60°
∴OA=2OP=2b=4，∴a=4
∴椭圆C的方程为+=1．…（4分）
（2）∵是一个常数，∴当点P分别在（±b，0）时比值相等，即=，整理可得，b2=ac，
又∵b2=a2-c2，∴a2-c2-ac=0，
同除以a2可得e2+e-1=0，解得离心率e=．…（8分）
（3）如若存在，∵b=1，∴设椭圆方程为+y2=1
设y1∈（0，1），D（x1，y1），H（x2，y2），E（-x1，-y1），G（x1，0）
∵D、H都在椭圆C上，∴，两式相减得 （x12-x22）+a2（y12-y22）=0
由题意可得，D、H在第一象限，且不重合，故（x1-x2）（x1+x2）≠0
∴•=- （*）
而又因为E、G、H三点共线，故kEH=kEG，即==，代入（*）式
可得•=-
而DE⊥DH，即为•=-1，因此，-=-，即a2=2，a=．
从而存在椭圆+y2=1满足题意．…（18分）