2012-2013学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

集合A={0，2，a}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为    ．

2. 难度：中等

某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是    ．

3. 难度：中等

函数的定义域为    ．

4. 难度：中等

经过点（2，-1），且与直线2x-3y-1=0垂直的直线方程是    ．

5. 难度：中等

某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为    ．

6. 难度：中等

如图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=    ．

7. 难度：中等

若y=f（x）是幂函数，且满足，则f（3）=    ．

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₁=-2，a₂=0．若将a₁，a₄，a₅都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为    ．

9. 难度：中等

设向量，，，的夹角为120°，则实数k=    ．

10. 难度：中等

关于x的不等式（x-2a）（ax-1）＜0的解为或x＜2a，则实数a的取值范围为    ．

11. 难度：中等

以下5个命题：
（1）设a，b，c是空间的三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
（2）设a，b是两条直线，α是平面，若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
（3）设a是直线，α，β是两个平面，若a⊥β，α⊥β，则a∥α；
（4）设α，β是两个平面，c是直线，若c⊥α，c⊥β，则α∥β；
（5）设α，β，γ是三个平面，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=（|x|-1）（x+a）为奇函数，则f（x）的减区间为    ．

13. 难度：中等

已知，若对∀x₁∈[-1，3]，∃x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x-2）的图象关于（2，0）成中心对称，设s，t满足不等式f（s²-4s）≥-f（4t-t²），若-2≤s≤2时，则3t+s的范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²=a²+c²-ac，b=1．
（1）若，求c；
（2）若a=2c，求△ABC的面积．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（1）求证：OE∥平面PDC；
（4）求证：平面PBD⊥平面ABCD．

17. 难度：中等

已知向量（λ≠0），，，其中O为坐标原点．
（1）若λ=2，，β∈（0，π），且，求β；
（7）若对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

18. 难度：中等

数列{a_n}是公比大于1的等比数列，a₂=6，S₃=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列．设第n个等差数列的前n项和是A_n．求关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

为了保护环境，某化工厂在政府部门的支持下，进行技术改造：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，该工厂每天处理废气的成本y（元）与处理废气量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品．
（1）当工厂日处理废气量x∈[40，70]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天财政补贴多少元？
（2）若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40吨时，给予每顿80元补贴，废气处理量不少于40吨时，超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是单调减函数，求a的最小值；
（3）当x∈[1，2e]时，|f（x）|≤e恒成立，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底）．