Question

数列{a_n}是公比大于1的等比数列，a₂=6，S₃=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列．设第n个等差数列的前n项和是A_n．求关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设公比为q，由，a2=6，S3=26 求得q=3，从而求得 a1=2，由此求出等比数列的通项公式．
（2）由等差数列的通项公式求得 dn=，利用等差数列的前n项和公式求得可得 An=，再由 An=g（n）dn对任意n∈N+恒成立，求得 g（n）．再由 =dm•dp，求得 m=k=p，这与dm，dk，dp是不同的三项相矛盾，由此得出结论．
【解析】
（1）设公比为q，由，a2=6，S3=26 可得 ，解得q=3，或 q=，再由q＞1可得q=3，∴a1=2，an=2×3n-1．
（2）由等差数列的通项公式可得 2×3n=2×3n-1+（n+1）•dn，∴dn=，
∴An=n 2×3n-1+=．
∵An=g（n）dn对任意n∈N+恒成立，∴g（n）=n2．
（3）对于（2）中的数列d1，d2，d3，…，dn，…，这个数列中若存在不同的三项dm，dk，dp（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，
则有 =dm•dp，即 =•，再由 2k=mp，解得 m=k=p，
这与dm，dk，dp是不同的三项相矛盾，故不存在不同的三项dm，dk，dp（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列．