Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（1）求证：OE∥平面PDC；
（4）求证：平面PBD⊥平面ABCD．

Answer

（Ⅰ）如图所示，连接AO并延长交DC于点F，连接BF、PF，可证得AO=OF，再由已知AE=EP，可利用三角形的中位线定理即可证明结论．
（Ⅱ）如图所示，根据面面垂直的判定定理，只要证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，从图可看出，只要证PO⊥平面ABCD即可．
证明：（Ⅰ）如图所示，连接AO并延长交DC于点F，连接BF、PF．
∵AB∥DC，BO=OD，∴，∴AO=OF，
又∵AE=EP，根据三角形的中位线定理可得OE∥PF，
而OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，
∴OE∥平面PDC．
（Ⅱ）∵△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，∴PB=PD=2，
又BO=OD，∴PO⊥BD．
∵AB⊥AD，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD==2．
∴OB=．
在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO==，
在Rt△ABD中，AO==．
在△PAO中，PO2+OA2=4=PA2，由勾股定理得逆定理得PO⊥AO．
又∵BD∩AF=O，∴PO⊥平面ABCD．
∵PO⊂平面PBD，
∴平面ABD⊥平面ABCD．