Question

为了保护环境，某化工厂在政府部门的支持下，进行技术改造：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，该工厂每天处理废气的成本y（元）与处理废气量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品．
（1）当工厂日处理废气量x∈[40，70]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天财政补贴多少元？
（2）若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40吨时，给予每顿80元补贴，废气处理量不少于40吨时，超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大？

Answer

（1）利用每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品，及函数关系式，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
（2）求出工厂处理每顿废气的平均收益的函数表达式，再分段求出函数的最值，即可求得结论．
【解析】
（1）当x∈[40，70]时，设该工厂获利为S，则S=50x-（2x2-130x+5000）=-2（x-45）2-950
∴x∈[40，70]时，Smax=-950＜0，因此，该工厂不会获利
当x=70时，Smin=-2200，
∴国家至少每天财政补贴2200元，保证工厂在生产中没有亏损现象出现；
（2）由题意，工厂处理每顿废气的平均收益为P（x）=
①当x∈[10，40]时，P（x）=，∴P′（x）=-
∵x∈[10，40]，∴10≤x＜20时，P′（x）＞0，函数为增函数，20＜x＜40时，P′（x）＜0，函数为减函数
∴x=20时，P（x）取得最大值，最大值为P（20）=65
②当x∈[40，70]时，P（x）=，∵≥240，当且仅当x=60时，取得最小值为240
∴x=60时，P（x）取得最大值，最大值为P（60）=75
综上，x=60时，当工厂的日处理量为60吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大．