Question

已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是单调减函数，求a的最小值；
（3）当x∈[1，2e]时，|f（x）|≤e恒成立，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底）．

Answer

（1）求导函数，利用直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求切点坐标，即可求m的值；
（2）利用f（x）在[1，2]上是单调减函数，可得≤0在[1，2]上恒成立，分离参数，求最值，即可求得a的最小值；
（3）当x∈[1，2e]时，|f（x）|≤e恒成立，等价于-e≤（x-a）lnx≤e，|f（x）|≤e恒成立，分离参数，求最值，即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1
∵直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，∴lnx+1=2，∴x=e
∵f（e）=e，∴切点为（e，e），∴m=-e；
（2）
∵f（x）在[1，2]上是单调减函数，
∴≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，则g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上单调递增
∴a≥≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值为2ln2+2；
（3）|f（x）|≤e等价于-e≤（x-a）lnx≤e
∴-≤x-a≤
∴x-≤a≤x+
设h（x）=x+，t（x）=x-，则t（x）max≤a≤h（x）min，
由，∵h′（e）=0
令s（x）=xln2x-e，x∈[1，2e]，则s′（x）=ln2x+lnx＞0
∴h（x）在[1，2e]上单调递增，∴h（x）min=h（e）=2e，
∵t′（x）=1+＞0，∴t（x）在[1，2e]上单调递增，
∴t（x）max=t（2e）=2e-
综上，2e-≤a≤2e．