2011-2012学年山东省潍坊市高二（上）数学寒假作业（3）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设定点F₁（0，-3），F₂（0，3），动点P（x，y）满足条件|PF₁|+|PF₂|=a（a＞0），则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．线段
C．不存在
D．椭圆或线段或不存在

2. 难度：中等

抛物线的焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

4. 难度：中等

AB为过椭圆（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（ ）
A．bc
B．ac
C．ab
D．b²

5. 难度：中等

设是右焦点为F的椭圆上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x₁+x₂=8”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既非充分也非必要

6. 难度：中等

过原点的直线l与双曲线-=-1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．（-，）
B．（-∞，-）∪（，+∞）
C．[-，]
D．（-∞，-]∪[，+∞）

7. 难度：中等

过双曲线的右焦点作直线l交双曲线与A，B两点，若|AB|=5则这样的直线共有（ ）条
A．2
B．3
C．4
D．6

8. 难度：中等

已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧面BB₁C₁C内一动点，若P到直线BC与直线C₁D₁的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．直线
B．圆
C．双曲线
D．抛物线

10. 难度：中等

以过椭圆的右焦点的弦为直径的圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定

11. 难度：中等

点P在椭圆7x²+4y²=28上，则点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若抛物线y=ax²-1上总存在两点关于直线x+y=0对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

长度为a的线段AB的两个端点A、B都在抛物线y²=2px（p＞0，a＞2p）上滑动，则线段 AB的中点M到y轴的最短距离为    ．

15. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若，且A，B，C三点共线（O为该直线外一点），则S₂₀₀₉=    ．

16. 难度：中等

椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形桌球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2，焦距为1，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为，求此椭圆的标准方程．

18. 难度：中等

F₁，F₂为双曲线的左右焦点，过 F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF₁F₂=30°，求双曲线的渐近线方程．

19. 难度：中等

抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．