2009-2010学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i是虚数单位，则=（ ）
A．2-i
B．i-2
C．-2-i
D．2+i

2. 难度：中等

下列求导运算正确的是（ ）
A．（x³）'=x²
B．
C．（e^x）'=xe^x-1
D．（cosx）'=sin

3. 难度：中等

在复平面内，若复数z=（m²-4m）+（m²-m-6）i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，3）
B．（-∞，-2）
C．（-2，0）
D．（3，4）

4. 难度：中等

已知y=f（x）是二次函数，若方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）'=2x+2，则函数f（x）的表达式是（ ）
A．f（x）=x²-2x+1
B．f（x）=2x²+2x+1
C．f（x）=x²+2x+1
D．

5. 难度：中等

曲线x²-4y=0在点Q（2，1）处的切线方程式是（ ）
A．x-y-1=0
B．x+y-3=0
C．2x-y-3=0
D．2x+y-5=0

6. 难度：中等

若a，b，c均为正实数，则三个数（ ）
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2

7. 难度：中等

下列四个函数中，图象如图1所示的只能是（ ）

A．y=x+ln
B．y=x-ln
C．y=-x+ln
D．y=-x-ln

8. 难度：中等

某学校高二年级的女生比男生多，在2010年下学期的某次数学考试中，年级不及格学生超过了一半，则下列判断正确的是（ ）
A．女生不及格的比男生不及格的多
B．女生不及格的比男生及格的多
C．女生及格的比男生比不及格的多
D．女生及格的比男生及格的多

二、填空题

9. 难度：中等

若复数在z满足z=（m-2）+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，其中m∈R，则m=    |z|=    ．

10. 难度：中等

比较大小：      （用“＞”或”＜”填空）

11. 难度：中等

对于半径为r的圆，由（πr²）'=2πr可以得到结论：圆的面积关于半径的函数的导数等于圆的周长关于半径的函数，通过类比可以得到：对于半径为r 的球，由    ，可以得到结论    （参考公式：球的体积公式）

12. 难度：中等

在图2中，阴影部分的面积为    ．

13. 难度：中等

若函数在区间（2，3）上是减函数，则k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

若不全为0的实数k₁，k₂…k_n满足k₁₁+k₂₂+…+k_nn=0，则称向量₁，₂，…_n为”线性相关”．依据此规定，若向量₁=（1，0），₂=（1，1），₃=（2，2）线性相关，则k₁，k₂，k₃的取值依次可以为        （写一组数即可）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+blnx在x=1处有极值．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．

16. 难度：中等

如图3，点A是曲线y=3-x²（y＞0）上的一个动点（点A在y轴左侧）以点A为顶点作矩形ABCD，使点B在此曲线上，D，C在x轴上，设|OC|=x，矩形ABCD的面积为S（x）．
（1）写出函数S（x）的解析式，并求出函数的定义域
（2）求当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出最大面积．

17. 难度：中等

用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有成立．

18. 难度：中等

设x₁，x₂（x₁≠x₂）使函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点
（1）若，求b的最大值；  
（2）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函数g（x）=f（x）'-a（x-x₁），求证：．