Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）使函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点
（1）若，求b的最大值；  
（2）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函数g（x）=f（x）'-a（x-x₁），求证：．

Answer

（1）对函数f（x）求导数，得到导数f′（x）是关于x的二次函数．根据x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个极值点，得到x1，x2是方程f′（x）=0的两个不相等的实数根，然后利用根与系数的关系，建立方程组，并由这个方程组消去x1，x2得到关于a、b的关系式，通过这个关系式可得b关于a的函数表达式，从而得到b的最大值；
（2）用（1）中根与系数关系表达式，结合x2=a，解得，且2b-3a2+a．由此代入g（x）=f（x）'-a（x-
x1），得到g（x）的表达式是一个二次函数，它的图象是开口向上的抛物线，它的两个零点为-和，且-＜．因为x1＜x＜x2，所以g（x）的定义域为∈（-，a）⊂（-，），得到g（x）的值恒为负数．并且g（x）的最小值等于二次函数对称轴处的取值：g（）=，从而证出原不等式恒成立．
【解析】
（1）∵函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）
∴函数f（x）的导数为f′（x）=3ax2+2bx-a2，
∵x1，x2（x1≠x2）是函数的两个极值点
∴x1，x2是方程f′（x）=0的两个不相等的实数根，得
∵两根x1，x2之积为
∴两根x1，x2之中一正一负，可得
平方，得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=8
即：
整理，得4b2=72a2-12a3，其中a＞0
∴b2=18a2-3a3
记F（a）=18a2-3a3，得F′（a）=36a-9a2=9a（4-a）
令F′（a）＞0，得0＜a＜4，F′（a）＜0，得a＞4，
∴F（a）在区间（0，4）上为增函数，在区间（4，+∞）上为减函数
可得F（a）在（0，+∞）上的最大值为F（4）=96
∴b的最大值为=
（2）由（1）的根与系数的关系，结合x2=a，得
⇒
∴f'（x）=3ax2+2bx-a2=3ax2+（-3a2+a）x-a2
∴g（x）=f'（x）-a（x-x1）=3ax2+（-3a2+a）x-a2-a（x+）
=3ax2-3a2x-a2-a=（x+）（3ax-3a2-a）
g（x）的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=对称
它的两个零点为-和，且-＜
∵x1＜x＜x2即x∈（-，a），a
∴g（x）＜0且g（x）的最小值为g（）=
∴不等式恒成立．