2009-2010学年湖北省孝感高中高三（上）9月综合测试数学试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若条件p：log₂x＜2，条件q：0，则¬p是¬q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+blgx+2，且，则f（2009）的值为（ ）
A．-4
B．2
C．0
D．-2

3. 难度：中等

为得到函数y=3cos（2x-）的图象，只需将函数y=3sin（2x-2）的图象（ ）
A．向左平移2个长度单位
B．向右平移2个长度单位
C．向左平移1个长度单位
D．向右平移1个长度单位

4. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₉＞0，S₂₀＜0，则，，…，中最大的项是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数y=x³-3x²-9x+a的图象经过四个象限的充要条件是（ ）
A．a＞0
B．a＜0
C．-10＜a＜30
D．-5＜a＜27

7. 难度：中等

已知5sin2α=sin2°，则的值是（ ）
A．-
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

已知函数f（x）=在[1，+∞]上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a
B．a≥e
C．a≥
D．a≥4

9. 难度：中等

已知函数若  ，则f（x）在（0，2）上的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2

10. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若a，b，c成等比数列，则b²=ac的逆命题是真命题；
②f^′（x）=0是f（x）在x=x处取得极值的既不充分也不必要条件；
③函数f（x）=|2sinxcosx|x||的最小正周期为；
④若数列{a_n}是递减数列且a_n=-n²+kn+π（n∈N^*），则k∈（-∞，3）．
其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，则=    ．

12. 难度：中等

已知函数=    ．

13. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x）；又当0≤x≤1时，，则方程的解集为    ．

14. 难度：中等

已知函数，则使函数f（x）的图象位于直线y=1上方的x的取值范围是    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上均值为C．下列五个函数：①y=4sinx；②y=x³；③y=lgx；④y=2^x；⑤y=2x-1．则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称中心；
（2）求函数f（x）在上的单减区间．

17. 难度：中等

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式；（2）定义正数数列，求a_n．

18. 难度：中等

如图，是孝感市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为B．市园林局计划在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S（单位：m²）．
（1）以△AON=θ（rad）为自变量，将S表示成θ的函数；
（2）为使绿化的面积最大，试确定此时点A的位置及其最大面积．

19. 难度：中等

数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），a₁=27，
（1）记，是否存在实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，说明理由？
（2）设，试求使不等式（1+C₁）（1+C₂）…对所有n∈N^*成立的最大实数k．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x²-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．

21. 难度：中等

把正偶数列{2n}中的数按“上小下大，左小右大”的原则排成如图“三角形”所示的数表，设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函数f（x）的反函数为f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n．①求数列{f（b_n）}的前n项和S_n；②令的前n项之积为T_n（n∈N^*），求证：．