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如图,是孝感市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场,圆心为O,半径...

如图,是孝感市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场,圆心为O,半径为100m,其与城站路一边所在直线l相切于点M,A为上半圆弧上一点,过点A作l的垂线,垂足为B.市园林局计划在△ABM内进行绿化,设△ABM的面积为S(单位:m2).
(1)以△AON=θ(rad)为自变量,将S表示成θ的函数;
(2)为使绿化的面积最大,试确定此时点A的位置及其最大面积.

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(1)利用三角函数的定义求出BM,AB的长,利用三角形的面积公式求出△ABM的面积 (2)对S求导,令导函数为0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出S的最大值. 【解析】 (1)由题知:BM=AOsinθ=100sinθ,AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ    θ∈(0,π) 则S=MB•AB=×100sinθ×(100+100cosθ) =5000sinθ(1+cosθ) (2)s′=5000(2cos2θ+cosθ-1)=5000(2cosθ-1)(cosθ+1) 令S′=0得cosθ=,cosθ=-1(舍去),此时θ= 当θ∈时,S′>0; ∴当θ=时,S取得极大值,即S最大值=3750 答:当AO与ON成60°角时,绿化面积最大,最大面积为3750 m2
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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