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已知函数f(x)=x|x2-a|,a∈R. (Ⅰ)当a≤0时,求证函数f(x)在...

已知函数f(x)=x|x2-a|,a∈R.
(Ⅰ)当a≤0时,求证函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)当a=3时,求函数f(x)在区间[0,b]上的最大值.
(1)利用导函数判断函数的单调性. (2)函数取最值的可能点为极值点,端点,间断点,因此找出这些点,再比较函数值即可. (Ⅰ)【解析】 ∵a≤0,∴x2-a≥0,∴f(x)=x(x2-a)=x3-ax, ∴f′(x)=3x2-a, ∵f′(x)≥0对x∈R成立, ∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. (Ⅱ)【解析】 当a=3时,f(x)=x|x2-3|= (i)当x<-,或x>时,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)>0. (ii)当-<x<时,f′(x)=3-3x2=-3(x-1)(x+1). 当-1<x<1时,f′(x)>0; 当-<x<-1,或1<x<时,f¢(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-],[-1,1],[,+∞); f(x)的单调递减区间是[-,-1],[1,].(8分) 由区间的定义可知,b>0. ①若0<b≤1时,则[0,b]Ì[-1,1],因此函数f(x)在[0,b]上是增函数, ∴当x=b时,f(x)有最大值f(b)=3b-b3. ②若1<b≤时,f(x)=3x-x3在[0,1]上单调递增,在[1,b]上单调递减,因此,在x=1时取到极大值f(1)=2,并且该极大值就是函数f(x)在区间[0,b]上的最大值. ∴当x=1时,f(x)有最大值2. ③若b>时,当x∈[0,]时,f(x)=3x-x3在[0,1]上单调递增,在[1,]上单调递减, 因此,在x=1时取到极大值f(1)=2,在x∈[,b]时,f(x)=x3-3x在[,b]上单调递增, 在x=b时,f(x)有最大值f(b)=b3-3b. (i)当f(1)≥f(b),即2≥b3-3b,b3-b-2b-2≤0,b(b2-1)-2(b+1)≤0,(b+1)2(b-2)≤0,b≤2. ∴当<b≤2时,在x=1时,f(x)取到最大值f(1)=2. (ii)当f(1)<f(b),解得b>2, ∴当b>2时,f(x)在x=b时,取到最大值f(b)=b3-3b, 综上所述,函数y=f(x)在区间[0,b]上的最大值为ymax=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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