2008-2009学年江苏省无锡市宜兴市张渚高级中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为    ．

2. 难度：中等

在△ABC中，∠A=60°，AC=3，△ABC面积为，那么BC的长度为     ．

3. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是    ．

4. 难度：中等

已知不等式对任意的正实数x、y恒成立，则实数m的最小值为    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，A=120°，b=1，面积为，则=    ．

6. 难度：中等

如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要     小时到达B处．

7. 难度：中等

在△ABC中，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是    ．

8. 难度：中等

（理）设满足不等式的解集为A，且1∉A，则实数a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为    ．

10. 难度：中等

若不等式x²-ax-b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b=    ．

11. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和是S_n，若数列{a_n}的各项按如下规则排列：，…，若存在整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=    ．

12. 难度：中等

设数列a_n=n²+λn（n∈N^*），且满足a₁＜a₂＜a₃＜---＜a_n＜k，则实数λ的取值范围是    ．

13. 难度：中等

将正奇数排列如下表其中第i行第j个数表示a_ij（i∈N^*，j∈N^*），例如a₃₂=9，若a_ij=2009，则i+j=    ．

14. 难度：中等

设S_n=1+2+3+…+n，n∈N^*，则f（n）=的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，S为△ABC的面积，且S=c²-（a-b）²
（1）求tanC
（2）当时，求ab的值．

16. 难度：中等

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6，且a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n．

17. 难度：中等

已知函数的最大值为7，最小值为-1，求此函数式．

18. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=0，且．  
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）设，试判断数列{b_n}是否为等差数列？并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，且g（n）≥m（m∈R）对任意n＞1，n∈N^*都成立，求m的最大值．

19. 难度：中等

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

20. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为6，公差为1的等差数列；S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²+2n
（1）求{a_n}及{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（2）若对任意的正整数n，不等式恒成立，求正数a的取值范围．