Question

设数列a_n=n²+λn（n∈N^*），且满足a₁＜a₂＜a₃＜---＜a_n＜k，则实数λ的取值范围是    ．

Answer

由已知，数列{an}为单调递增数列，得出an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即有2n+1+λ＞0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．
【解析】
∵an=n2+λn①∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）②
②-①得an+1-an=2n+1+λ．由已知，数列{an}为单调递增数列，则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，所以λ＞-3
故答案为：λ＞-3．