Question

设数列{a_n}是首项为6，公差为1的等差数列；S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²+2n
（1）求{a_n}及{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（2）若对任意的正整数n，不等式恒成立，求正数a的取值范围．

Answer

（1）根据数列{an}是首项为6，公差为1的等差数列，利用通项公式可写结论；利用再写一式，两式相减的方法，可写数列{bn}的通项公式；
（2）用分离参数法，表示出a，进而可构造函数，验证其单调增，从而可得函数的最小值，故可求正数a的取值范围．
【解析】
（1）an=a1+（n-1）d=6+n-1=n+5
又当n=1时，b1=S1=3；
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1
上式对n=1也成立，
∴bn=2n+1（n∈N*），总之，an=n+5，bn=2n+1
（2）将不等式变形并把an=n+5代入得：，
∴
∴
又∵
∴，即g（n+1）＞g（n）
∴g（n）随n的增大而增大，，
∴