Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6，且a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n．

Answer

由已知中前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6，令n=1，我们可以求出a1，根据an=Sn-Sn-1，我可可以得到an与an-1的关系式，结合a1，a3，a15成等比数列，我们分类讨论后，即可得到满足条件的a1及an与an-1的关系，进而求出数列{an}的通项an．
【解析】
∵10Sn=an2+5an+6，①
∴10a1=a12+5a1+6，
解之得a1=2或a1=3．
又10Sn-1=an-12+5an-1+6（n≥2），②
由①-②得 10an=（an2-an-12）+5（an-an-1），
即（an+an-1）（an-an-1-5）=0
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=5 （n≥2）．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1，a3，a15不成
等比数列∴a1≠3；
当a1=2时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，
∴a1=2，∴an=5n-3．