2010-2011学年江西省南昌三中高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数的定义域为A，函数g（x）=lg（x-1），x∈[2，11]的值域为B，则A∩B为（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，1]
C．[0，1]
D．（0，1]

2. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

3. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）=sin
B．f（x）=-|x+1|
C．
D．

4. 难度：中等

下列各数中，与函数f（x）=x³+x-3的零点最接近的是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

6. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为R，它的反函数为f^-1（x），如果f^-1（x+a）与f（x+a）互为反函数，且f（a）=a（a≠0），则f（2a）的值为（ ）
A．-a
B．0
C．a
D．2a

7. 难度：中等

在周长为16的△PMN中，MN=6，则的取值范围是（ ）
A．[7，+∞）
B．（0，7]
C．（7，16]
D．[7，16）

8. 难度：中等

已知函数（a＞0，a≠1），如果f（log₃b）=5（b＞0，b≠1），那么的值是（ ）
A．-3
B．3
C．5
D．不能确定

9. 难度：中等

已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于对称，且在区间上是单调函数，则满足条件的实数对（ω，φ）有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．无数

二、填空题

11. 难度：中等

设函数（θ∈R），则导数值f′（1）的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知集合M={1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A的累积值为n．
（1）若n=3，则这样的集合A共有    个；（2）若n为偶数，则这样的集合A共有    个．

13. 难度：中等

函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有50个最大值，则ω的最小值是    ．

14. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当时，恒成立．则=    ．

15. 难度：中等

甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A₁，A₂和A₃表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是    （写出所有正确结论的编号）．
①；
②；
③事件B与事件A₁相互独立；
④A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A₁，A₂，A₃中哪一个发生有关．

三、解答题

16. 难度：中等

在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为．
（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．

17. 难度：中等

已知f（x）=lg（1+x）+alg（1-x）是奇函数．
（1）求f（x）的定义域
（2）求a的值；
（3）当k＞0时，解关于x的不等式．

18. 难度：中等

已知向量
（1）若，求的值；
（2）记，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

19. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设，当g（t）取最小值时，求t的值．
（3）已知m≥0，n≥0，求证：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的最值（4分）；
（2）已知数列{a_n}满足．
①证明对一切n∈N⁺且n≥2，a_n≥2（4分）；
②证明对一切n∈N⁺，a_n＜e³（这里e是自然对数的底数）（6分）．