Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的最值（4分）；
（2）已知数列{a_n}满足．
①证明对一切n∈N⁺且n≥2，a_n≥2（4分）；
②证明对一切n∈N⁺，a_n＜e³（这里e是自然对数的底数）（6分）．

Answer

（1）当a≤0时，f（x）在其定义域（-1，+∞）内是增函数，无最值．当a＞0时，，由f′（x）=0，，由此能够得到函数f（x）在定义域内的最值．
（2）①易用数学归纳法证明．②当a=1时，ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，由，知，所以．由此能够推导出对一切n∈N+，an＜e3．
【解析】
（1）当a≤0时，f（x）在其定义域（-1，+∞）内是增函数，无最值；]
当a＞0时，，由f′（x）=0，，
且时，f'（x）＞0，f（x）在内递增；时，f′（x）＜0，f（x）在内递减，
故为f（x）在定义域内的最大值；f（x）在其定义域（-1，+∞）内无最小值
（2）①易用数学归纳法证明．
②当a=1时，由第（1）小题知ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，
由①知 
所以  
所以  ．
显然a1，a2＜e3；因为  lna1=ln1=0，所以n≥3时，lnan=（lnan-lnan-1）+（lnan-1-lnan-2）+…+（lna2-lna1）=，
所以   an＜e3，综合知对一切n∈N+，an＜e3．